固有値方程式 $Ax = \lambda x$ は、行列変換がベクトルを回転させるのではなく単に スケーリング スケーリングするという稀な幾何的状態を表しています。これらの「特異」なベクトル $x$ は、線形変換の主軸を定義します。
例外性の幾何学
ほとんどのベクトルについて、$Ax$ の方向は $x$ と異なります。固有ベクトルは特別な理由から、原点を通る同じ直線上に留まります。固有値 $\lambda$ はこの伸縮の大きさを示します：
- $|\lambda| > 1$：成長（伸びる）。
- $|\lambda| < 1$：減衰（縮む）。
- $\lambda < 0$：反転（方向が逆になる）。
特異性の制約
方程式 $Ax = \lambda x$ は $(A - \lambda I)x = 0$ と書き直すことができます。非ゼロ解 $x$ が存在するためには、行列 $(A - \lambda I)$ は 特異 （可逆でない）である必要があり、その行列式はゼロでなければなりません：$\det(A - \lambda I) = 0$。
単位行列とシフト
行列を単位行列分シフトすると、固有ベクトルは同じままですが、固有値は1ずつシフトします：
$Ax = \lambda x \implies (A+I)x = Ax + Ix = \lambda x + x = (\lambda + 1)x$
射影から反射へ
射影 $P$ の幾何学的理解により、線形演算子 $R = 2P - I$ を通して反射 $R$ を導くことができます。
もし $x$ が $P$ の固有ベクトルで固有値が $\lambda$ ならば：
$Rx = (2P - I)x = 2(Px) - Ix = 2(\lambda x) - x = (2\lambda - 1)x$
これにより、射影（固有値1と0）が反射（固有値1と-1）に変換される理由が説明されます。
🎯 核心公式
固有値と固有ベクトルは $\det(A - \lambda I) = 0$ を通して求められます。$A$ が2×2かつ特異である場合、行は $(a, b)$ の倍数であり、固有ベクトルは $(b, -a)$ です。
$Ax = \lambda x \quad | \quad R = 2P - I$